Question

(本小題滿分12分)

已知定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足： .

（I）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（II）過點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn),試問在軸上是否存在定點(diǎn),使得 為常數(shù).若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（I）軌跡的方程為

（II）當(dāng)直線與x軸垂直時，,當(dāng)時.

 故，在x軸上存在定點(diǎn)C(1,0) ,使得 為常數(shù).

【解析】解：（Ⅰ）   

（當(dāng)動點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A,B共線時也符合上述結(jié)論）

所以動點(diǎn)P的軌跡為以A,B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線

所以，軌跡G的方程為 。     

（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)C(m,0),使為常數(shù).

①當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為

 

由題意知，

設(shè)，則， 

于是

∴

＝     

＝

要是使得 為常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時 

②當(dāng)直線與x軸垂直時，,當(dāng)時.

 故，在x軸上存在定點(diǎn)C(1,0) ,使得 為常數(shù).