Question

已知點直線，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且.
（1）求動點的軌跡方程；
（2）、是軌跡上異于坐標原點的不同兩點，軌跡在點、處的切線分別為、，且，
、相交于點，求點的縱坐標.

Answer 1

（1）動點的軌跡方程為；（2）點的縱坐標為.

試題分析：（1）設動點的坐標為，直接利用題中的條件列式并化簡，從而求出動點的軌跡方程；（2）先設點，利用導數求出曲線在點和點處的切線方程，并將兩切線方程聯立，求出交點的坐標，利用兩切線垂直得到，從而求出點的縱坐標.
試題解析：（1）設，則，∵，
∴． 即，即，
所以動點的軌跡M的方程．   4分
（2）設點、的坐標分別為、，
∵、分別是拋物線在點、處的切線，
∴直線的斜率，直線的斜率.
∵,
∴, 得.  ①
∵、是拋物線上的點,
∴
∴直線的方程為,直線的方程為.
由 解得
∴點的縱坐標為.