Question

設函數f（x）=

1 x      x＞0 ex    x≤0

，F（x）=f（x）+x，x∈R．F（x）的值域為（　　）

A．（-∞，1]

B．[2，+∞）

C．（-∞，1]∪[2，+∞）

D．（-∞，1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：先求出函數F（x）的解析式，當x＞0時可利用基本不等式求出值域，當x≤0時可利用導數研究函數的值域，從而求出所求．

解答：解：∵f（x）=

1 x      x＞0 ex    x≤0

，F（x）=f（x）+x，
∴F（x）=

1 x +x     x＞0 ex+x    x≤0

，
當x＞0時，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當且僅當x=1時取等號，
當x≤0時，
∵（e^x+x）′=e^x+1＞0，
∴e^x+x在（-∞，0]上單調遞增，
∴e^x+x≤1，
綜上所述：F（x）的值域為（-∞，1]∪[2，+∞）．
故選C．

點評：本題主要考查了分段函數求值域，以及利用不等式求值域和利用導數求值域，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．