Question

將4個半徑都是的球體完全裝入底面半徑是的圓柱形桶中，則桶的最小高度是     ．

Answer 1

本題考查了，空間位置關系與距離，做題時要弄請存在的等量關系
由題意知，小球要分兩層放置且每層兩個，令下層兩小球的球心分別是A、B，上層兩小球的球心分別是C、D．此時，圓柱底面的半徑=兩小球半徑的和，恰好使小球相外切，且與圓柱母線相切．圓柱的高=上層小球的上方半徑+AB與CD間的距離+下層小球的下方半徑=2R+AB與CD間的距離．令AB、CD的中點分別為E、F．很明顯，四面體ABCD每條棱的長都是2R，容易求出：EC=ED、FA=FB，由EC=ED、CF=DF，得：EF⊥CD．由FA=FB、AE=BE，得：EF⊥AB．∴EF是AB與CD間的距離，∴圓柱的高=2R+EF．由勾股定理，有：CE²+AE²=AC²，CE²=EF²+CF²．兩式相減，消去CE，得：AE²=AC²-EF²-CF²，∴EF²=AC²-AE²-CF²=（2R）²-R²-R²=2R²，∴EF=R．∴圓柱的高=2r+R=（2+）R．故答案為（2+）R．
解決該試題的關鍵弄清桶的取最小高度時，四個球如何放置．由題意知，小球要分兩層放置且每層兩個，則四個球心構成正四面體，并可求出相對棱的距離．很明顯，圓柱的高=上層小球的上方半徑R+相對棱間的距離+下層小球的下方半徑R．