Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（1）求函數的極值點；

（2）若，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，無極值點；當時，極值點為；當且時，極值點為和；（2）.

【解析】

(1)先求出函數的導數，討論、、且即可求出函數的極值點;

(2)由題意可將，恒成立轉化為時，恒成立，然后構造函數，分，與兩種情況討論，分別用導數的方法研究其在上的單調性和值域，即可篩選出符合題意的的取值范圍.

（1）,

當時，，故無極值點；

當時，函數只有一個極值點，極值點為；

當且時，函數有兩個極值點，分別為和.

（2），依題意，當時，，

即當時，.

設，則.

設，則.

①當時，，，從而（當且僅當時，等號成立），

在上單調遞增.

又，當時，，從而當時，，

在上單調遞減，又，

從而當時，，即，

于是當時，.

②當時，令，得，.

故當時，，

在上單調遞減.

又，當時，，從而當時，，

在上單調遞增，又，

從而當時，，即，

于是當時，，不符合題意.

綜上所述：實數的取值范圍為.