Question

【題目】已知橢圓的離心率為，分別為的左、右頂點(diǎn)，是上異于的動點(diǎn)，面積的最大值為2.

（1）求橢圓的方程；

（2）證明：直線與直線的斜率乘積為定值；

（3）設(shè)直線，分別交直線于兩點(diǎn)，以為直徑作圓，當(dāng)圓的面積最小時，求該圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）

【解析】

（1）依題意有，解出方程即可；（2）由（1）知，，，，再利用點(diǎn)在曲線上得到結(jié)果;(3)根據(jù)第二問設(shè)出直線PA和PB，解出點(diǎn)M，N的點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到圓心Q的坐標(biāo)，可以寫出圓的方程，由均值不等式得到最值.

（1）依題意有，解得，，

故所求橢圓方程為.

（2）由（1）知，，

設(shè)，則，

，

即直線與直線的斜率乘積為定值.

（3）設(shè)直線：，則直線：，

令得，，

∴的中點(diǎn)為，，

于是以為直徑的圓的方程為，

，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.

此時圓的方程為.