Question

已知a>0，函數f(x)=ax-bx²,
（1）當b>0時，若對任意x∈R都有f(x)≤1，證明：a≤2；
（2）當b>1時，證明：對任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要條件是：b-1≤a≤2；
（3）當0<b≤1時，討論：對任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要條件。

Answer 1

證明見解析

（1）證：依題設，對任意x∈R，都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-)²+，∴f()=≤1，∵a>0, b>0, ∴a≤2。
（2）證：（必要性），對任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1-1≤f(x)據此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，∴a≥b-1。對任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1f(x)≤1，因為b>1，可推出f()≤1。即a·-≤1，∴a≤2，所以b-1≤a≤2。
（充分性）：因b>1, a≥b-1，對任意x∈[0, 1]，可以推出：ax-bx²≥b(x-x²)-x≥-x
≥-1，即：ax-bx²≥-1；因為b>1，a≤2，對任意x∈[0, 1]，可推出ax-bx²≤2-bx²≤1，即ax-bx²≤1，∴-1≤f(x)≤1。
綜上，當b>1時，對任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要條件是：b-1≤a≤2。
（3）解：因為a>0, 0<b≤1時，對任意x∈[0, 1]。
f(x)=ax-bx²≥-b≥-1，即f(x)≥-1；
f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1，即a≤b+1；a≤b+1f(x)≤(b+1)x-bx²≤1，即f(x)≤1。
所以，當a>0, 0<b≤1時，對任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1的充要條件是：a≤b+1.