Question

【題目】在等比數(shù)列{an}中，an>0 (n∈N )，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3與a5的等比中項(xiàng)為2.

(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2) 設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)最大時(shí)，求n的值.

Answer 1

【答案】(1) 25－n (2) 8或9

【解析】

（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1a5=a32，a2a8=a52化簡(jiǎn)a1a5+2a3a5+a2a8=25得到a3+a5=5，又因?yàn)?/span>a3與a5的等比中項(xiàng)為2，聯(lián)立求得a3與a5的值，求出公比和首項(xiàng)即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）把an代入到bn=中得到bn的通項(xiàng)公式，即可得到前n項(xiàng)和的通項(xiàng)sn；把sn代入得到，討論求出各項(xiàng)和的最大值時(shí)n的取值．

解　(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，

∴a＋2a3a5＋a＝25，

又an>0，∴a3＋a5＝5.

又a3與a5的等比中項(xiàng)為2，

∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，

∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.

∴q＝，a1＝16，∴an＝16×n－1＝25－n.

(2)bn＝log2an＝5－n，

∴bn＋1－bn＝－1，

∴{bn}是以b1＝4為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列，

∴Sn＝，

∴＝，

∴當(dāng)n≤8時(shí)， >0；

當(dāng)n＝9時(shí)，＝0；

當(dāng)n>9時(shí)， <0.

∴當(dāng)n＝8或9時(shí)，＋＋＋…＋最大.