Question

【題目】三棱錐中，側面底面, 是等腰直角三角形的斜邊，且.

（1）求證： ；

（2）已知平面平面，平面平面， ，且到平面的距離相等，試確定直線及點的位置（說明作法及理由），并求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析..

【解析】試題分析：（1）根據面面垂直可得線面垂直，故在內作，交于，連結，則由側面底面， 得底面，然后證得O為中點即可得

從而得證；（2）根據面面平行的性質可得，由到平面的距離相等可得//平面或中點在平面上，又 平面,平面∩平面

// 或中點在上, 或為平行四邊形,即. 所以,過點A在平面ABC內作直線平行于BC，則所作直線即為l,以A為圓心BC長為半徑作弧與l交點即為點 (或在l上到A距離為2的點即為點)其中.

解析：

（Ⅰ）法一:在內作，交于，連結，

則由側面底面，

得底面

又， ，

， 為等腰直角三角形， ，

又∩= ,

即

法二:取中點，連結, ,由側面底面

得,

由已知,

，

又∩= ,

即

（Ⅱ）法一:

平面∥平面,平面∩平面,平面∩平面

到平面的距離相等 //平面或中點在平面上

又 平面,平面∩平面

// 或中點在上,

或為平行四邊形,即.

所以,過點A在平面ABC內作直線平行于BC，則所作直線即為l,以A為圓心BC長為半徑作弧與l交點即為點 (或在l上到A距離為2的點即為點)

其中

法二: 到平面的距離相等

平面∥平面，平面∩平面，平面∩平面

// 或中點在上,

或為平行四邊形,即.

所以,過點A在平面ABC內作直線平行于BC，則所作直線即為l,以A為圓心BC長為半徑作弧與l交點即為點 (或在l上到A距離為2的點即為點)