Question

（本小題滿分12分）

（理）已知S_n是正數數列{a_n}的前n項和，S₁²，S₂²、……、S_n² ……，是以3為首項，以1為公差的等差數列；數列{b_n}為無窮等比數列，其前四項之和為120，第二項與第四項之和為90．

(I)求a_n、b_n；(II)從數列{}中能否挑出唯一的無窮等比數列，使它的各項和等于．若能的話，請寫出這個數列的第一項和公比?若不能的話，請說明理由．

Answer 1

(I) a_n=(nÎN) 、b_n=3ⁿ(nÎN)

解析:

(I ){S_n}是以3為首項，以1為公差的等差數列；所以S_n²=3+(n–1)=n+2．

因為a_n>0，所以S_n=(nÎN)．當n≥2時，a_n=S_n–S_n–1=–；

又a₁=S₁=，所以a_n=(nÎN) ．　　

設{b_n}的首項為b₁，公比為q，則有所以，所以b_n=3ⁿ(nÎN)．　

(II) =()ⁿ，設可以挑出一個無窮等比數列{c_n}，首項為c₁=()^p，公比為()^k，(p、kÎN)， 它的各項和等于=，　則有，所以()^p=[1–()^k]，　　　

當p≥k時3^p–3^p–k=8，即3^p–k(3^k–1)=8， 因為p、kÎN，所以只有p–k=0，k=2時，

即p=k=2時，數列{c_n}的各項和為．　　　　　

當p<k時，3^k–1=8.3^k–p，因為k>p右邊含有3的因數，而左邊非3的倍數，不存在p、kÎN，

所以唯一存在等比數列{c_n}，首項為，公比為，使它的各項和等于．