Question

【題目】世界軍人運動會，簡稱“軍運會”，是國際軍事體育理事會主辦的全球軍人最高規格的大型綜合性運動會，每四年舉辦一屆，會期7至10天，比賽設27個大項，參賽規模約100多個國家8000余人，規模僅次于奧運會，是和平時期各國軍隊展示實力形象、增進友好交流、擴大國際影響的重要平臺，被譽為“軍人奧運會”.根據各方達成的共識，軍運會于2019年10月18日至27日在武漢舉行，賽期10天，共設置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項、329個小項．其中，空軍五項、軍事五項、海軍五項、定向越野和跳傘5個項目為軍事特色項目，其他項目為奧運項目．現對某國在射擊比賽預賽中的得分數據進行分析，得到如下的頻率分布直方圖：

（1）估計某國射擊比賽預賽成績得分的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；

（2）根據大量的射擊成績測試數據，可以認為射擊成績近似地服從正態分布，經計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，求射擊成績得分恰在350到400的概率；[參考數據：若隨機變量服從正態分布，則：，，；

（3）某汽車銷售公司在軍運會期間推廣一款新能源汽車，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”，活動，客戶可根據拋擲骰子的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優惠券．已知骰子出現任意點數的概率都是，方格圖上標有第0格，第1格，第2格，……第50格．遙控車開始在第0格，客戶每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次，若拋擲出正面向上的點數是1，2，3，4，5點，遙控車向前移動一格（從到），若拋擲出正面向上的點數是6點，遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移動到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結束．設遙控車移動到第格的概率為，試證明是等比數列，并求，以及根據的值解釋這種游戲方案對意向客戶是否具有吸引力．

Answer 1

【答案】（1）300；（2）0.1359；（3），這種游戲方案客戶參與中獎的可能性較大，對意向客戶有吸引力

【解析】

（1）每一組中的數據用該組區間的中點值代表乘以概率，相加即得估計均值；

（2）由正態分布的性質結合所給數據計算．

（3）依次求出，，可得的遞推關系：，變形為，得到一個等比數列，求得，然后用累加法求得，即得，與比較可知吸引力大不大．

（1）；

（2）因為X～N（300，502），所以；

（3）搖控車開始在第0格為必然事件，P0＝1，第一次擲骰子，正面向上不出現6點，搖控車移動到第1格，其概率為，即；搖控車移到第n格（2≤n≤49）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種；

①搖控車先到第n-2格，拋擲出正面向上的點數為6點，其概率為；

②搖控車先到第n-1格，拋擲骰子正面向上不出現6點，其概率為，

故，，故1≤n≤49時，Pn-Pn-1是首項為，公比為的等比數列，

故，Pn＝P0＋（P1-P0）＋（P2-P1）＋…＋（Pn-Pn-1）

，

，，

故這種游戲方案客戶參與中獎的可能性較大，對意向客戶有吸引力．