Question

設無窮等比數列的公比為q，且，表示不超過實數的最大整數（如）,記，數列的前項和為，數列的前項和為.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若對于任意不超過的正整數n，都有，證明：.
（Ⅲ）證明：（）的充分必要條件為.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）答案詳見解析；（Ⅲ）答案詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）由已知得，，，，且當時，.且，故，，，且當時，，進而求；（Ⅱ）已知數列的前項和（），可求得，由取整函數得，，故，要證明，只需證明，故可聯想到，則；（Ⅲ）先證明充分性，當時，，由取整函數的性質得，故；必要性的證明，當時，，則有.
試題解析：（Ⅰ）解：由等比數列的，，得，，，且當時，.
所以，，，且當時，.
即
（Ⅱ）證明：因為 ，所以 ，.
因為 ，
所以 ，.
由 ，得 .
因為 ，
所以 ，
所以 ，即 .
（Ⅲ）證明：（充分性）因為 ，，
所以，
所以對一切正整數n都成立.
因為，，
所以.
（必要性）因為對于任意的，，
當時，由，得；
當時，由，，得.
所以對一切正整數n都有.
由 ，，得對一切正整數n都有，
所以公比為正有理數.
假設 ，令，其中，且與的最大公約數為1.
因為是一個有限整數，
所以必然存在一個整數，使得能被整除，而不能被整除.
又因為，且與的最大公約數為1.
所以，這與（）矛盾.
所以.
因此，.