Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若的圖像過點，且在點處的切線方程為，試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，若函數(shù)恒成立，求整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）1

【解析】

（1）根據(jù)且求得函數(shù)解析式，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）函數(shù)恒成立等價于在區(qū)間內(nèi)恒成立，根據(jù)零點存在定理確定極值點的范圍，可得的范圍，從而可得結(jié)果.

（1）函數(shù)過點可知，①，，

∴，，②，聯(lián)立①②可得，

所以，函數(shù)的定義域為，

可知，，，，

可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）由可知，

因為，所以原命題等價于在區(qū)間內(nèi)恒成立.

設(shè)，

可設(shè)，在單調(diào)遞增，且，，

所以存在唯一的，使得

且當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

當(dāng)，，單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時，有極大值，也為最大值，且

又，所以，∴，可知，所以的最小值為1.