Question

已知函數f（x）=ax+lnx，其中a為常數，e為自然對數的底數．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若a＜0，且f（x）在區間（0，e]上的最大值為-2，求a的值；
（3）當a=-1時，試證明：x|f（x）|＞lnx+

1

2

x．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求導數，分類討論，利用導數的正負，可求f（x）的單調區間；
（2）分類討論，確定函數的單調性，求出最大值，利用f（x）在區間（0，e]上的最大值為-2，求a的值；
（3）即要證明|f（x）|＞

lnx

x

+

1

2

，證明|f（x）|≥1，

lnx

x

+

1

2

＜1即可．

解答： （1）解：∵f（x）=ax+lnx，
∴f′（x）=

ax+1

x

，…（1分）
當a≥0時，f′（x）＞0恒成立，故f（x）的單調增區間為（0，+∞）…（3分）
當a＜0時，令f′（x）＞0，解得0＜x＜-

1

a

，令f′（x）＜0解得x＞-

1

a

，
故f（x）的單調增區間為（0，-

1

a

），f（x）的單調減區間為（-

1

a

，+∞）…（5分）
（2）解：由（1）知，
①當-

1

a

≥e，即a≥-

1

e

時，f（x）在（0，e]上單調遞增，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0舍；…（7分）
②當0＜-

1

a

＜e，即a＜-

1

e

時，f（x）在（0，-

1

a

）上遞增，在（-

1

a

，e）上遞減，
f（x）_max=f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

），令-1+ln（-

1

a

）=-2，得a=-e  …（9分）
（3）證明：即要證明|f（x）|＞

lnx

x

+

1

2

，…（10分）
由（1）知當a=-1時，f（x）_max=f（1）=-1，∴|f（x）|≥1，…（11分）
又令φ（x）=

lnx

x

+

1

2

，則φ′（x）=

1-lnx

x2

，…（12分）
故φ（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，…（13分）
故φ（x）≤φ（e）=

1

e

+

1

2

＜1…（14分）
即證明|f（x）|＞

lnx

x

+

1

2

，
∴x|f（x）|＞lnx+

1

2

x．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最大值，考查不等式的證明，正確求導，確定函數的最值是關鍵．