Question

已知M為橢圓上的一點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為6，點(diǎn)I為△MF₁F₂的內(nèi)心，延長(zhǎng)線段MI交線段F₁F₂于N，則

MI

IN

的值為（　�。�

• A．

  3

  4

• B．

  3

  5

• C．

  4

  3

• D．

  5

  3

Answer 1

分析：連接IF₁、IF₂，△MF₁N中根據(jù)內(nèi)角平分線定理，得

|MF1|

|NF1|

=

|MI|

|IN|

；同理在△MF₂N中：

|MF2|

|NF2|

=

|MI|

|IN|

，再用橢圓定義和比例的基本性質(zhì)得

|MI|

|IN|

=

2a

2c

=

5

3

，得到本題答案．

解答：解：連接IF₁、IF₂，
∵I為△MF₁F₂的內(nèi)心，
∴IF₁平分∠MF₁N，可得

|MF1|

|NF1|

=

|MI|

|IN|

同理可得：

|MF2|

|NF2|

=

|MI|

|IN|

，得

|MI|

|IN|

=

|MF1|

|NF1|

=

|MF2|

|NF2|

．
∴

|MI|

|IN|

=

|MF1|+|MF2|

|NF1|+|NF2|

∵M(jìn)是橢圓上一點(diǎn)，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10
∴|MF₁|+|MF₂|=2a=10
而|NF₁|+|NF₂|=2c=6，可得

|MI|

|IN|

=

2a

2c

=

5

3

故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心，求它的內(nèi)角平分線MN被內(nèi)心I分成的兩段的比，著重考查了橢圓的定義與三角形內(nèi)角平分線定理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．