Question

【題目】已知函數（為常數，是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸平行.

（1）求的值；

（2）求的單調區間；

（3）設,其中為的導函數.證明：對任意.

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調遞增區間為；單調遞減區間為；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據題意分析可能曲線在點處的切線與軸平行，等價于，從而；（2）由（1）可知，只需考慮分子的正負性即可，而，在上單調遞減，再由，故當時，，，單調遞增；當時，，，單調遞減，∴單調遞增區間為；單調遞減區間為；（3），這是一指對相結合的函數，混在一起考慮其單調性比較復雜，因此考慮分開研究各自的取值情況：記，，，令，得，

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，

∴，即.

② 記，，，∴在上單調遞減，

∴，即，綜合①，②可知，.

試題解析：（1），依題意，為所求；

（2）由（1）可知，，記，，

∴在上單調遞減，又∵，

∴當時，，，單調遞增；當時，，，單調遞減，∴單調遞增區間為；單調遞減區間為；

（3），

① 記，，，令，得，

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，

∴，即.

② 記，，，∴在上單調遞減，

∴，即，綜合①，②可知，.