Question

已知a＞0，b＞0，試比較

a

b

+

b

a

與

a

+

b

的大小．

Answer 1

分析：欲比較

a

b

+

b

a

與

a

+

b

的大小，可先作差

a

b

+

b

a

-（

a

+

b

）后，與0比較大小．若差大于0，則前者大，若差值小于
0，則后者大，若等于0，則兩者相等．

解答：解：（

a

b

+

b

a

）-（

a

+

b

）
=

a a +b b - ab ( a + b )

ab

=

a a +b b -a b -b a

ab

=

a( a - b )-b( a - b )

ab

=

( a - b )(a-b)

ab

=

( a + b )( a - b )2

ab

．
∵a＞0，b＞0．∴

a

+

b

＞0，

ab

＞0．
又∵（

a

-

b

）²≥0（當且僅當a=b時等號成立），
∴

( a + b )( a - b )2

ab

≥0．
即

a

b

+

b

a

≥

a

+

b

（當且僅當a=b時等號成立）．

點評：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法．用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號．