Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，其中點在以為直徑的圓上，，，，平面平面.

（1）證明：平面.

（2）設點是線段（不含端點）上一動點，當三棱錐的體積為1時，求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）利用余弦定理，由勾股定理可得，再根據面面垂直的性質可得平面；（2）設，則，由，解得，即點是線段的中點. 取的中點為，連接，可證明四邊形為平行四邊形，從而，且，可得為異面直線與所成角（或補角），再利用余弦定理可得結果.

（1）連接，，因為點在以為直徑的圓上，所以.

因為，所以，.

所以.

因為為等腰梯形，，

所以.

又因為，，

所以，從而得.

又因為平面平面，平面平面，

所以平面.

（2）由（1）得，

設，則，

所以，解得，

即點是線段的中點.

取的中點為，連接，則由（1）及條件得，且，

所以四邊形為平行四邊形，從而，且，

所以為異面直線與所成角（或補角）.

因為，所以.

因為，所以，

所以，

所以，

即異面直線與所成角的余弦值為.