Question

【題目】設橢圓的一個焦點為，四條直線，所圍成的區域面積為.

（1）求的方程；

（2）設過的直線與交于不同的兩點，設弦的中點為，且（為原點），求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意,結合橢圓的性質可得的方程組,解方程組即可求得橢圓的標準方程.

（2）因為直線過定點,設出直線方程,并聯立橢圓方程.化簡后利用判別式求得斜率的取值范圍.由三角形幾何性質可知,結合平面向量數量積定義及韋達定理求得斜率的方程,解方程即可求得斜率,進而可得直線的方程.

（1）依題意得,解得

橢圓的方程為．

（2）易知直線的斜率存在,并設直線方程為,

聯立橢圓,,化簡得,

設、,

,

且,

由三角形幾何性質可知

,

即,

．

將

代入上式得

化簡得,所以

故所求的直線方程為