Question

已知數列{a_n}是等差數列，a₂=6，a₅=18，數列{b_n}的前n項和為T_n，且Tn+

1

2

bn=1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式及其前n項和M_n；
（Ⅱ）求證數列{b_n}是等比數列，并求出其通項公式與前n項和T_n公式；
（III）記c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d，由a₂=6，a₅=18，可求首項及公差，進而可求通項公式及前n項和
（Ⅱ）由Tn+

1

2

bn=1，令n=1，可求b1=

2

3

．當n≥2時，由Tn+

1

2

bn=1，可得Tn-1+

1

2

bn-1=1，兩式相減得Tn+

1

2

bn-Tn-1-

1

2

bn-1=0．即bn=

1

3

bn-1，利用等比數列的通項公式及前n項和公式可求
（III）由（I）（II）可得，cn=an•bn=4(2n-1)•(

1

3

)n，故考慮利用錯位相減求數列的和

解答：解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d，
由a₂=6，a₅=18，
可得a₁+d=6，a₁+4d=18，
解得a₁=2，d=4．
從而a_n=4n-2，M_n=2n²
（Ⅱ）由Tn+

1

2

bn=1，
令n=1，則b1+

1

2

b1=1，可得b1=

2

3

．
當n≥2時，Tn+

1

2

bn=1，Tn-1+

1

2

bn-1=1，
兩式相減得Tn+

1

2

bn-Tn-1-

1

2

bn-1=0．
可得bn=

1

3

bn-1．
所以數列{b_n}是等比數列．
可得bn=2×(

1

3

)n，Tn=

2 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=1-

1

3n

．…（8分）
（Ⅲ）由cn=an•bn=4(2n-1)•(

1

3

)n．
則Sn=4[1×

1

3

+3×(

1

3

)2+5×(

1

3

)3+…+(2n-1)×(

1

3

)n]．

1

3

Sn=4[1×(

1

3

)2+3×(

1

3

)3+…+(2n-3)×(

1

3

)n+(2n-1)×(

1

3

)n+1]．
兩式相減得

2

3

Sn=4[

1

3

+2×(

1

3

)2+2×(

1

3

)3+…+2×(

1

3

)n-(2n-1)×(

1

3

)n+1]．
整理得Sn=4-

4(n+1)

3n

點評：本題主要考查了利用基本量求解等差數列的通項公式及數列的和，及利用遞推關系構造等比數列求解數列的通項公式，本題的難點在于（III）的錯位相減求解數列的和