Question

已知數列的首項其中，令集合.
（Ⅰ）若，寫出集合中的所有的元素；
（Ⅱ）若，且數列中恰好存在連續的7項構成等比數列，求的所有可能取值構成的集合；
（Ⅲ）求證：.

Answer 1

（Ⅰ）集合的所有元素為：4,5,6,2,3,1.
（Ⅱ）首項的所有可能取值的集合為{,}.
（Ⅲ）見解析.

試題分析：（Ⅰ）將代入，依次寫出集合的所有元素.
（Ⅱ）不妨設成等比數列的這連續7項的第一項為，關鍵是理解好“如果是3的倍數，則；如果是被3除余1，則由遞推關系可得，所以是3的倍數，所以；如果被3除余2，則由遞推關系可得，所以是3的倍數，所以.”得到結論：該7項的等比數列的公比為.
（Ⅲ）分“被3除余1，被3除余2,，被3除余0”加以討論，確定得到的關系為：，
從而利用
進一步得到，所以.數列中必存在某一項（否則會與上述結論矛盾！）
并對,,加以討論，得到,.
此題較難，對考生邏輯思維能力要求較高
試題解析：（Ⅰ）集合的所有元素為：4,5,6,2,3,1..                3分
（Ⅱ）不妨設成等比數列的這連續7項的第一項為，
如果是3的倍數，則；如果是被3除余1，則由遞推關系可得，所以是3的倍數，所以；如果被3除余2，則由遞推關系可得，所以是3的倍數，所以.
所以，該7項的等比數列的公比為.
又因為，所以這7項中前6項一定都是3的倍數，而第7項一定不是3的倍數（否則構成等比數列的連續項數會多于7項），
設第7項為，則是被3除余1或余2的正整數，則可推得
因為，所以或.
由遞推關系式可知，在該數列的前項中，滿足小于2014的各項只有：
或,或,
所以首項的所有可能取值的集合為
{,}.                       8分
（Ⅲ）若被3除余1，則由已知可得,；
若被3除余2,則由已知可得,,；
若被3除余0，則由已知可得,；
所以，
所以
所以，對于數列中的任意一項，“若，則”.
因為，所以.
所以數列中必存在某一項（否則會與上述結論矛盾！）
若,結論得證.
若,則；若,則,
所以.                      13分