Question

已知圓經過，兩點，且在兩坐標軸上的四個截距之和為2.

（1）求圓的方程；

（2）若為圓內一點，求經過點被圓截得的弦長最短時的直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設所求圓的一般方程為，再令、，分別求出圓在軸、軸上的截距之和，再有已知圓兩坐標軸上的四個截距之和為2.得出的關系式，由于，兩點在圓上，聯立方程組，解方程組求出系數，從而求得圓的方程；（2）考查圓的最短弦，實際上當直線過定點且與過此點的圓的半徑垂直時，被圓截得的弦長最短，求出直線的斜率，再由直線方程的點斜式求出方程.

試題解析：（1）設圓的方程為，

令，得，則圓在軸上的截距之和為；

令，得，則圓在軸上的截距之和為；

由題意有，即，又，兩點在圓上，

，解得，故所求圓的方程為.

（2）由（1）知，圓的方程為，圓心為，

當直線過定點且與過此點的圓的半徑垂直時，被圓截得的弦長最短，

此時，，

于是直線的方程為，即.

考點：圓的方程，性質，直線與圓的關系.