Question

【題目】(導學號：05856266)[選修4－5：不等式選講]

設函數f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.

(Ⅰ)解不等式f(x)>0；

(Ⅱ)若x0∈R，使得f＋2m2<4m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）利用零點分區間討論去掉絕對值符號，化為分段函數，在每一個前提下去解不等式，每一步的解都要和前提條件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后結果找并集得出不等式的解；

（2）根據第一步所化出的分段函數求出函數f（x）的最小值，若x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m成立，只需4m﹣2m2＞fmin（x），解出實數m的取值范圍．

試題解析：

(Ⅰ)當x<－2時，f(x)＝－＝1－2x＋x＋2＝－x＋3，

由f(x)>0，即－x＋3>0，解得x<3.

又x<－2，所以x<－2；

當－2≤x≤時，f(x)＝－＝1－2x－x－2＝－3x－1，

由f(x)>0，即－3x－1>0，解得x<－.又－2≤x≤，所以－2≤x<－；

當x>時，f(x)＝－＝2x－1－x－2＝x－3，由f(x)>0，即x－3>0，解得x>3.

又x>，所以x>3.

綜上，不等式f(x)>0的解集為.

(Ⅱ)f(x)＝－

＝

所以f(x)min＝f＝－.

因為x0∈R，使得f＋2m2<4m，

所以4m－2m2>f(x)min＝－，整理得4m2－8m－5<0，解得－<m<.

因此，實數m的取值范圍是.