Question

甲方是一農場，乙方是一工廠．由于乙方生產需占用甲方的資源，因此甲方有權向乙方索賠以彌補經濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x(元)與年產量t(噸)滿足函數關系x＝2 000.若乙方每生產一噸產品必須賠付甲方S元(以下稱S為賠付價格)．
(1)將乙方的年利潤w(元)表示為年產量t(噸)的函數，并求出乙方獲得最大利潤的年產量；
(2)甲方每年受乙方生產影響的經濟損失金額y＝0.002t²(元)，在乙方按照獲得最大利潤的產量進行生產的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格S是多少？

Answer 1

（1）t₀＝²（2）S＝20(元/噸)時，獲得最大凈收入

(1)因為賠付價格為S元/噸，所以乙方的實際年利潤為w＝2 000－St.
w′＝－S＝，
令w′＝0，得t＝t₀＝².
當t＜t₀時，w′＞0；
當t＞t₀時，w′＜0，所以t＝t₀時，w取得最大值．
因此乙方取得最大利潤的年產量t₀＝²(噸)．
(2)設甲方凈收入為v元，則v＝St－0.002t²，將t＝²代入上式，得到甲方凈收入
v與賠付價格S之間的函數關系式．v＝－.
又v′＝－＋＝，
令v′＝0，得S＝20.
當S＜20時，v′＞0；
當S＞20時，v′＜0，所以S＝20時，v取得最大值．
因此甲方向乙方要求的賠付價格S＝20(元/噸)時，獲得最大凈收入．