Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓 =l （a＞b＞0）的焦距為2，離心率為 ，橢圓的右頂點為A．

（1）求該橢圓的方程：
（2）過點D（ ，﹣ ）作直線PQ交橢圓于兩個不同點P，Q，求證：直線AP，AQ的
斜率之和為定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知：橢圓 =l （a＞b＞0），焦點在x軸上，2c=1，c=1，

橢圓的離心率e= = ，則a= ，b2=a2﹣c2=1，

則橢圓的標準方程：

（2）

解：證明：設P（x1，y1），Q（x2，y2），A（ ，0），

由題意PQ的方程：y=k（x﹣ ）﹣ ，

則 ，整理得：（2k2+1）x2﹣（4 k2+4 k）x+4k2+8k+2=0，

由韋達定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，

則y1+y2=k（x1+x2）﹣2 k﹣2 = ，

則kAP+kAQ= + = ，

由y1x2+y2x1=[k（x1﹣ ）﹣ ]x2+[k（x2﹣ ）﹣ ]x1=2kx1x2﹣（ k+ ）（x1+x2）=﹣ ，

kAP+kAQ= = =1，

∴直線AP，AQ的斜率之和為定值1．

【解析】（1）由題意可知2c=2，c=1，離心率e= ，求得a=2，則b2=a2﹣c2=1，即可求得橢圓的方程：（2）則直線PQ的方程：y=k（x﹣ ）﹣ ，代入橢圓方程，由韋達定理及直線的斜率公式，分別求得直線AP，AQ的斜率，即可證明直線AP，AQ的率之和為定值．