Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意實數x，y滿足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），an= （n∈N*），bn= （n∈N*），考查下列結論：
①f（1）=1；②f（x）為奇函數；③數列{an}為等差數列；④數列{bn}為等比數列．
以上命題正確的是 ．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：①因為對定義域內任意x，y，f（x）滿足f（xy）=yf（x）+xf（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0，故①錯誤，
②令x=y=﹣1，得f（﹣1）=0；
令y=﹣1，有f（﹣x）=﹣f（x）+xf（﹣1），
代入f（﹣1）=0得f（﹣x）=﹣f（x），
故f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函數．故②正確，
③若 ，
則an﹣an﹣1= ﹣ = = = 為常數，
故數列{an}為等差數列，故③正確，
④∵f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），
∴當x=y時，f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），
則f（22）=4f（2）=8=2×22 ，
f（23）=22f（2）+2f（22）=23+2×23═3×23 ，
…
則f（2n）=n×2n ，
若 ，
則 = = = =2為常數，
則數列{bn}為等比數列，故④正確，
所以答案是：②③④．