Question

【題目】已知[x）表示大于x的最小整數，例如[3）=4，[﹣1，3）=﹣1，下列命題中正確的是（ ） ①函數f（x）=[x）﹣x的值域是（0，1]
②若{an}是等差數列，則{[an）}也是等差數列
③若{an}是等比數列，則{[an）}也是等比數列
④若x∈（1，2017），則方程[x）﹣x=sin x有1007個根．
A.②
B.③④
C.①
D.①④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：對①，當x為整數時，[x）=x+1，即[x）﹣x=1，當x不為整數時，0＜[x）﹣x＜1，所以函數f（x）=[x）﹣x的 值域是（0，1]即①對； 對②，當數列{an}是整數構成的等差數列，則數列{[an）}也是等差數列；當{an}不是整數構成的等差數列，則數列{[an）}不是等差數列．
例如：數列{an}：0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1；那么數列
{[an）}：1，1，1，1，1，1，2，2顯然不是等差數列．故②錯；
對③，可取等比數列{an}：1，2，4，8，16；則數列{[an）}為：2，3，5，9，17顯然不是等比數列，故③錯；
對④，因為x∈（1，2017），函數f（x）=[x）﹣x=sin x的周期T=4，在（1，5]內有兩個根，一個根x∈（4，5），另一個根x=5．因此方程[x）﹣x=sin x在區間（1，2017）內共有504×2﹣1=1007個根．
故④對．
故選：D．
【考點精析】關于本題考查的等比數列的通項公式（及其變式），需要了解通項公式：才能得出正確答案．