Question

【題目】一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲種混合肥料1車皮、乙種混合肥料1車皮所需要的主要原料如表：

原料 種類	磷酸鹽（單位：噸）	硝酸鹽（單位：噸）
甲	4	20
乙	2	20

現(xiàn)庫存磷酸鹽8噸、硝酸鹽60噸，計(jì)劃在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)若干車皮的甲、乙兩種混合肥料．
（1）設(shè)x，y分別表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)，試列出x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（2）若生產(chǎn)1車皮甲種肥料，利潤(rùn)為3萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，利潤(rùn)為2萬元．那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料多少車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為：

即 ．

在直角坐標(biāo)系中可表示成如圖所示的平面區(qū)域（陰影部分）．

（2）解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮，乙種肥料y車皮，

能夠產(chǎn)生利潤(rùn)z萬元．則目標(biāo)函數(shù)為z=3x+2y，

可行域如圖所示：

將z=3x+2y變形為 ，

由圖可知當(dāng)直線 經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距 最大．

解方程組 ，

解的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：x=1，y=2． ）

所以zmax=3x+2y=3×1+2×2=7．

答：生產(chǎn)甲種肥料1車皮、乙種肥料2車皮，

能夠產(chǎn)生最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是7萬元．

【解析】（1）由題意可得4x+2y≤8，20x+20y≤60，且x，y≥0，運(yùn)用直線的畫法，結(jié)合二元一次不等式的區(qū)域，即可得到；（2）設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮，乙種肥料y車皮，能夠產(chǎn)生利潤(rùn)z萬元．則目標(biāo)函數(shù)為z=3x+2y，將z=3x+2y變形為 ，可得z的幾何意義為y軸上的截距的2倍，運(yùn)用平移法，即可得到所求最大值．