【題目】在四棱錐
中，底面ABCD為菱形，
，側(cè)面
為等腰直角三角形，
，
，點(diǎn)E為棱AD的中點(diǎn)．
（1）求證：
平面ABCD；
（2）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)
【解析】
（1）題中易得
，
，利用勾股定理可得
，從而可證得線面垂直；
（2）以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角的正弦值．
（1）證明：
在四棱錐
中，底面ABCD為菱形，
，
側(cè)面
為等腰直角三角形，
，
，點(diǎn)E為棱AD的中點(diǎn)．
，
，，
，
，
，
，
平面ABCD．
（2）以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
0，
，
，
0，
，
，
，
，
，
設(shè)平面PBC的法向量
y，
，
則
，取
，得
1，
，
設(shè)直線AB與平面PBC所成角為
，
直線AB與平面PBC所成角的正弦值為：
．
小題狂做系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱
中，
，
，
為側(cè)面
的對(duì)角線的交點(diǎn)，
，
分別是
，
中點(diǎn)
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書(shū)興趣，特舉辦讀書(shū)活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書(shū)籍豐富小區(qū)圖書(shū)站，由于不同年齡段需要看不同類型的書(shū)籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)看書(shū)人員進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天40名讀書(shū)者進(jìn)行調(diào)查. 將他們的年齡分成6段：
，
后得到如圖所示的頻率分布直方圖，問(wèn)：
（1）在40名讀書(shū)者中年齡分布在
的人數(shù)；
（2）估計(jì)40名讀書(shū)者年齡的平均數(shù)和中位數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
，設(shè)
.
（Ⅰ）若
在
處取得極值，且
，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若
時(shí)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
、
.
①求
的取值范圍；②求證：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】一元線性同余方程組問(wèn)題最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期（公元
世紀(jì)）的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”問(wèn)題，原文如下：有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，問(wèn)物幾何？即，一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個(gè)整數(shù).設(shè)這個(gè)整數(shù)為
，當(dāng)
時(shí)，符合條件的共有（ ）
A. 
個(gè)B. 
個(gè)C. 
個(gè)D. 
個(gè)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
，
，已知
有三個(gè)互不相等的零點(diǎn)
，且
.
（Ⅰ）若
.(ⅰ)討論的單調(diào)區(qū)間；(ⅱ)對(duì)任意的
，都有
成立，求
的取值范圍；
（Ⅱ）若
且
，設(shè)函數(shù)在
，
處的切線分別為直線
，
，
是直線，的交點(diǎn)，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面
為直角梯形，
，且
，
，
，平面
底面，
為
的中點(diǎn)，
為等邊三角形，
是棱
上的一點(diǎn)，設(shè)
（與
不重合）.
（1）當(dāng)
時(shí)，求三棱錐
的體積；
（2）若
平面
，求
的值.
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