已知函數
．
（1）當
時，求函數
的單調增區間；
（2）當
時，求函數
在區間
上的最小值；
（3）記函數
圖象為曲線
，設點
，
是曲線
上不同的兩點，點
為線段
的中點，過點
作
軸的垂線交曲線
于點
．試問：曲線
在點
處的切線是否平行于直線
？并說明理由．
（1）
，（2）（3）不平行
解析試題分析：（1）利用導數求函數單調區間，分四步：第一步，求定義域，
，第二步，求導，
，關鍵在因式分解，目的解不等式. 第三步解不等式由
，得，第四步，寫結論，
的單調增區間為．（2）求函數最值，其實質還是研究其單調性. 當
時，由
，得
，
，①當
>1，即
時，
在
上是減函數，所以
在
上的最小值為
．②當
，即
時，在
上是減函數，在
上是增函數，所以的最小值為．③當
，即時，在上是增函數，所以的最小值為．（3）是否平行，還是從假設平行出發，探究等量關系是否成立. 設，則點N的橫坐標為，直線AB的斜率=，曲線C在點N處的切線斜率,由得，不妨設，
，則
，下面研究函數是否有大于1的解.易由函數單調性得方程無解.
試題解析：（1）
， 2分
因為
，，所以，解，得，
所以的單調增區間為． 4分
（2）當時，由，得，，
①當>1，即時，在上是減函數，
所以在上的最小值為． 6分
②當，即時，在
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
若函數y＝f(x)在x＝x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數y＝f(x)的極值點．已知a，b是實數，1和－1是函數f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點．
(1)求a和b的值；
(2)設函數g(x)的導函數g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某風景區在一個直徑AB為100米的半圓形花園中設計一條觀光線路（如圖所示）．在點A與圓
弧上的一點C之間設計為直線段小路，在路的兩側邊緣種植綠化帶；從點C到點B設計為沿弧
的弧形小路，在路的一側邊緣種植綠化帶．（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計）
（1）設
（弧度），將綠化帶總長度表示為
的函數
；
（2）試確定的值，使得綠化帶總長度最大．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
的圖象在點
處的切線方程為
.
（1）求實數
的值；
（2）設
.
①若
是
上的增函數，求實數
的最大值；
②是否存在點
，使得過點的直線若能與曲線
圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等．若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設
，其中a∈R，曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0，6)．
(1)確定a的值;
(2)求函數f(x)的單調區間與極值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
（
）
（1）若方程
有3個不同的根，求實數
的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，是否存在實數，使得
在
上恰有兩個極值點
，且滿足
，若存在，求實數的值，若不存在，說明理由．
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，曲線
經過點
，
處的切線為
.
、
的值；
，使得
時，
恒成立，求
在
處的切線的斜率；
，求函數
在
上的最大值.
，
．
，討論
在
內的單調性并求極值；
時，恒有
．