Question

設f（x）=ax³+bx²+cx的極小值為-8，其導函數y=f′（x）的圖象開口向下且經過點(-2，0)，(

2

3

，0)．
（I）求f（x）的解析式；
（II）方程f（x）+p=0有唯一實數解，求實數P的取值范圍．
（II）若對x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出y=f'（x），因為導函數圖象經過（-2，0）和（

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，0），代入即可求出a、b、c之間的關系式，再根據圖象可知函數的單調性，而f（x）極小值為-8可得f（-2）=-8，解出即可得到a、b、c的值；
（2）由（1）的結論，求出f（x）的極值，進而根據方程f（x）+p=0有唯一實數解，則函數f（x）的圖象與直線y=-p有且只有一個交點，確定實數P的取值范圍
（3）根據函數增減性求出函數在區間[-3，3]的最小值大于等于m²-14m，即可求出m的范圍．

解答：解：（1）∵f'（x）=3ax²+2bx+c，且y=f'（x）的圖象經過點（-2，0），（

2

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，0），
∴

-2+ 2 3 =- 2b 3a -2• 2 3 = c 3a

 
解得

b=2a c=-4a

∴f（x）=ax³+2ax²-4ax，
∵y=f'（x）的圖象開口向下
∴當x∈（-∞，-2）∪（

2

3

，+∞）時，f'（x）＜0
當x∈（-2，

2

3

）時，f'（x）＞0
∴函數y=f（x）在（-∞，-2）上單調遞減，在（-2，

2

3

）上單調遞增，在（

2

3

，+∞）上單調遞減，
由f（x）_極小值=f（-2）=a（-2）³+2a（-2）²-4a（-2）=-8，
解得a=-1
∴f（x）=-x³-2x²+4x
（2）由（1）得
當x=-2時，f（x）的極小值為-8，
當x=

2

3

時，f（x）的極大值為

40

27

，
若方程f（x）+p=0有唯一實數解，
則函數f（x）的圖象與直線y=-p有且只有一個交點
則p＜-

40

27

，或p＞8
（3）要使對x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，
只需f（x）_min≥m²-14m即可．
由（1）可知函數y=f（x）在[-3，2）上單調遞減，在（-2，

2

3

）上單調遞增，在（

2

3

，3]上單調遞減
且f（-2）=-8，f（3）=-3³-2×3²+4×3=-33＜-8
∴f（x）_min=f（3）=-33（11分）-33≥m²-14m⇒3≤m≤11
故所求的實數m的取值范圍為{m|3≤m≤11}．

點評：考查學生會用待定系數法求函數的解析式，會利用導數求函數極值，理解函數恒成立時所取的條件．