Question

設f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）
（Ⅰ）f（x）的圖象關于原點對稱，當x=

1

2

時，f（x）的極小值為-1，求f（x）的解析式．
（Ⅱ）若a=b=d=1，f（x）是R上的單調函數，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據圖象關于原點對稱得出f（x）為奇函數，從而得出b=d=0，再由x=

1

2

時，f（x）的極小值為-1，建立關于a、c的方程組，解出a、c的值即可得到f（x）的解析式．
（II）若a=b=d=1，則f（x）=x³+x²+cx+1，由題意f'（x）在R上恒為非負或者恒為非正．因此求出導數并利用二次函數的性質建立關于c的不等式，解之即可得到實數c的取值范圍．

解答：解：：（I）因為圖象關于原點對稱，所以f（x）為奇函數，所以b=0，d=0；
可得f（x）=ax³+cx，因此f'（x）=3ax²+c
∵當x=

1

2

時，f（x）的極小值為-1，
∴f′(

1

2

)=

3a

4

+c=0，且f（

1

2

）=

1

8

a+

1

2

c=-1
解之得a=4，c=-3，得f（x）=4x³-3x
∴所求函數的解析式為f（x）=4x³-3x；
（Ⅱ）∵a=b=d=1，∴f（x）=ax³+bx²+cx+d=x³+x²+cx+1
∵f（x）是R上的單調函數，∴f'（x）在R上恒為非負或者恒為非正
∵f'（x）=3x²+2x+c，
∴△=4-12c≤0，解之得c≥

1

3

．可得實數c的取值范圍為[

1

3

，+∞）

點評：本題給出三次多項式函數，研究函數的奇偶性與單調性．著重考查了利用導數研究函數的單調性、二次函數的性質和不等式恒成立等知識，屬于中檔題．