Question

【題目】已知f（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+1|.

（1）求不等式f（x）＞1的解集.

（2）當(dāng)時(shí)，求證：4x2+4x+2＞（2x+1）f（x）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1） ，再根據(jù)分段函數(shù)，即可求出不等式 的解集;

（2）要證明，只要證，根據(jù)絕對(duì)值三角不等式和基本不等式即可證明．

(1)f(x)＝|2x﹣1|﹣|2x+1|，

當(dāng)，f(x)＝2>1恒成立，

當(dāng)，f(x)＝﹣4x>1，解得，

綜上所述不等式f(x)>1的解集為(﹣∞，).

證明(2)∵，

∴2x+1>0，

要證4x2+4x+2>(2x+1)f(x)，

只要證f(x)(2x+1)，

∵(2x+1)22，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，

f(x)＝|2x﹣1|﹣|2x+1|≤|(2x﹣1)﹣(2x+1)|＝2，

∴f(x)恒成立，

∴4x2+4x+2>(2x+1)f(x).