Question

【題目】如圖，已知橢圓 的離心率為，且過點(diǎn)．

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)點(diǎn)，是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，且．

①求的值；

②設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（I）；（II）①8；②或．

【解析】

(Ⅰ) 根據(jù)條件列方程組解得， ，即得結(jié)果，(Ⅱ) ①先根據(jù)直線方程與橢圓方程解得，同理可得，再根據(jù)化簡(jiǎn)求值，②先用A,B坐標(biāo)表示直線的斜率，再根據(jù)得，利用①結(jié)論以及橢圓方程解得，最后代入得結(jié)果.

（1）由題意，所以，即，

所以橢圓的方程為，

又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，即，．

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）①設(shè)直線的方程為，化簡(jiǎn)得，

解得，

因?yàn)?/span>，故，

同理可得 ，

所以 ．

②由題意，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為的坐標(biāo)為，

又點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意兩點(diǎn)，

所以，

故 ，即．

設(shè)直線的斜率為，則，

因?yàn)?/span>，即，故，

所以 ，

所以直線的斜率為為常數(shù)，即或．