Question

如圖所示，直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，D、E分別是AB、BB₁的中點，AA₁＝AC＝CB＝AB.

(1)證明：BC₁∥平面A₁CD；
(2)求二面角DA₁CE的正弦值．.

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)證明：連結AC₁交A₁C于點F，則F為AC₁中點．又D是AB中點，連結DF，則BC₁∥DF.
因為DF?平面A₁CD，BC₁平面A₁CD，所以BC₁∥平面A₁CD.
(2)由AC＝CB＝AB得AC⊥BC.以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.

設CA＝2，則D(1，1，0)，E(0，2，1)，A₁(2，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，2)．
設n＝(x₁，y₁，z₁)是平面A₁CD的法向量，則即
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，設m為平面A₁CE的法向量，則可取m＝(2，1，－2)．
從而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D-A₁C-E的正弦值為