Question

如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90°，，M是線段AE上的動點．
（1）試確定點M的位置，使AC∥平面DMF，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）所求二面角的余弦值為.

試題分析：（1）要使得AC∥平面DMF，需要使得AC平行平面DMF內的一條直線.為了找這條直線，需要作一個過AC而與平面DMF相交的平面.為此，連結CE，交DF于N，連結MN，這樣只要AC∥MN即可.因為N為線段DF的中點，所以只需M是線段AE的中點即可.

（2）思路一、（綜合法）首先作出它們的交線.過點D作平面DMF與平面ABCD的交線l，由于AC∥平面DMF，由線面平行的性質定理知AC∥l.為了求二面角，首先作出其平面角.作平面角第一步是過其中一個面內一點作另一個面的垂線，而要作垂線先作垂面.在本題中，由于平面平面，所以過點M作MG⊥AD于G，因為平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，則平面ADE⊥平面ABCD，所以MG⊥平面ABCD，過G作GH⊥l于H，連結MH，則直線l⊥平面MGH，所以l⊥MH，故∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的平面角．在直角三角形MHG中求得可∠MHG的余弦值.（另外也可過點C作直線l的垂線）思路二、因為平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE兩兩垂直，所以可分別以，，的方向為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O－xyz．然后利用空間向量求解.
（1）當M是線段AE的中點時，AC∥平面DMF．
證明如下：
連結CE，交DF于N，連結MN，
由于M、N分別是AE、CE的中點，所以MN∥AC，
由于MN平面DMF，又AC平面DMF，
所以AC∥平面DMF． 4分
（2）方法一、過點D作平面DMF與平面ABCD的交線l，由于AC∥平面DMF，可知AC∥l，
過點M作MG⊥AD于G，
因為平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，
所以DE⊥平面ABCD，則平面ADE⊥平面ABCD，
所以MG⊥平面ABCD，
過G作GH⊥l于H，連結MH，則直線l⊥平面MGH，所以l⊥MH，
故∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的平面角． 8分
設，則，，
，則， 11分
所以，即所求二面角的余弦值為． 12分

方法二、因為平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE兩兩垂直，分別以，，的方向為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O－xyz．

設，則，，，，
設平面MDF的法向量，
則所以
令，得平面MDF的一個法向量， 8分
取平面ABCD的法向量， 9分
由， 11分
故平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為． 12分