Question

（2012•樂山二模）設函數f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的圖象關于原點對稱，且x=1時，f（x）取得極小值-

2

3

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[-1，1]時，函數f（x）的圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線相互垂直？試說明你的結論；
（3）設f（x）表示的曲線為G，過點（1，-10）作曲線G的切線l，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用條件圖象關于原點對稱，且x=1時，f（x）取得極小值-

2

3

．得到對應的條件，然后求出a，b，c，d．
（2）設兩點的坐標，求出對應的導數，利用過此兩點處的切線相互垂直，得到導數之積為-1，然后判斷．
（3）設切點坐標，然后求切線方程，利用過點（1，-10），求出切點坐標，進而可得直線方程．

解答：解：（1）f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的圖象關于原點對稱，
所以函數f（x）為奇函數，所以b=d=0．
即f（x）=ax³+cx，f'（x）=3ax²+c．
當x=1時，f（x）取得極小值-

2

3

，
所以f'（1）=3a+c=0且f(1)=a+c=-

2

3

，解得a=

1

3

，c=-1．
所以f(x)=

1

3

x3-x．
（2）假設函數f（x）的圖象上存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得過此兩點處的切線相互垂直．
則由f'（x）=x²-1知兩點的切線的斜率分別為k1=x12-1，k2=x22-1．
因為x₁，x₂∈[-1，1]，所以x12-1≤0，x22-1≤0，
所以(

x

2 1

-1)(

x

2 2

-1)≤0，與k1k2=(

x

2 1

-1)(

x

2 2

-1)=-1矛盾，
所以假設不成立，即不存在兩點，使得過此兩點處的切線相互垂直．
（3）設切點坐標為P（x₀，y₀），則切線方程為y-y0=(

x

2 0

-1)(x-x0)，
因為過點（1，-10），所以

y0= 1 3 x 3 0 -x0 -10-y0=( x 2 0 -1)(1-x0)

，
消去y₀得2

x

3 0

-3

x

2 0

-27=0，所以(x0-3)(2

x

2 0

-3x0+9)=0，
解得x₀=3，y₀=9-3=6，
即切點為（3，6）．
所以切線方程為8x-y-18=0．

點評：本題考查了利用導數研究函數的極值，以及利用導數的幾何意義求切線方程的問題．綜合性較強，運算量較大．