Question

在北京奧運(yùn)會期間，4位志愿者計劃在長城、故宮、天壇和天安門等4個景點(diǎn)服務(wù)，已知每位志愿者在每個景點(diǎn)服務(wù)的概率都是

1

4

，且他們之間不存在相互影響．
（1）求恰有3位志愿者在長城服務(wù)的概率；
（2）設(shè)在故宮服務(wù)的志愿者人數(shù)為X，求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)每位志愿者在每個景點(diǎn)服務(wù)的概率都是

1

4

，且他們之間不存在相互影響．得到本題是一個獨(dú)立重復(fù)試驗，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗的概率公式得到恰有3位志愿者在長城服務(wù)的概率．
（2）由題意知在故宮服務(wù)的志愿者人數(shù)為X，X的可能取值是0，1，2，3，4，利用獨(dú)立重復(fù)試驗的概率公式，寫出隨機(jī)變量的分布列，做出期望．

解答：解：（1）由題意知本題是一個獨(dú)立重復(fù)試驗，
試驗發(fā)生的概率是

1

4

∴恰有3位志愿者在長城服務(wù)的概率是P=

C

3 4

(

1

4

)3•

3

4

=

3

64

（2）由題意知在故宮服務(wù)的志愿者人數(shù)為X，X的可能取值是0，1，2，3，4
則有P（X=0）=

C

0 4

(

3

4

)4=

81

256

P（X=1）=

C

1 4

(

1

4

)1(

3

4

)3=

27

64

P（X=2）=

C

2 4

(

1

4

)2(

3

4

)2=

27

128

P（X=3）=

C

3 4

(

1

4

)3(

3

4

)1=

3

64

P（X=4）=

C

4 4

(

1

4

)4=

1

256

∴X的概率分布列為

∴變量X的數(shù)學(xué)期望為EX=0×

81

256

+1×

27

64

+2×

27

128

+3×

3

64

+4×

1

256

=1．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查獨(dú)立重復(fù)試驗的概率，是一個可以作為高考題目出現(xiàn)的問題，注意解題格式．