Question

【題目】設函數f（x）=2x2+bx﹣alnx．
（1）當a=5，b=﹣1時，求f（x）的單調區間；
（2）若對任意b∈[﹣3，﹣2]，都存在x∈（1，e2）（e為自然對數的底數），使得f（x）＜0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=5，b=﹣1時，f（x）=2x2+bx﹣5lnx．x∈（0，+∞），

∴f′（x）=4x﹣1﹣ = = ，

由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜ ，由f′（x）＞0，得x＜﹣1或x＞ ，

∴f（x）的遞減區間為（0， ），f（x）的遞增區間為（ ，+∞）

（2）解：設：g（b）=xb+2x2﹣alnx，b∈[﹣3，﹣2]，g（b）為增函數．

根據題意可知：對任意b∈[﹣3，﹣2]，存在x∈（1，e2），使得f（x）＜0成立，則：

g（b）max=g（﹣2）=2x2﹣2x﹣alnx＜0在（1，e2）上有解，

令h（x）=2x2﹣2x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e2），使得h（x0）＜h（1）=0即可，

∵h′（x）=4x﹣2﹣ = ，又令F（x）=4x2﹣2x﹣a，x∈（1，e2），

F′（x）=8x﹣2＞0，x∈（1，e2），

∴F（x）在（1，e2）單調遞增，

∴F（x）＞F（1）=2﹣a，

當a≤2時，F（x）＞0，即h′（x）＞0，

∴h（x）在（1，e2）上增函數，

∴h（x）＞h（1）=0，不符合題意；

當a＞2時，F（1）=2﹣a＜0，F（e2）=4e4﹣2e2﹣a，

若F（e2）≤0，即a≥4e4﹣2e2=2e2（e2﹣1）＞2時，F（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在（1，e2）上單調遞減，

又h（1）=0，

∴存在x0∈（1，e2）使得F（x0）＜0，

若F（e2）＞0，即2＜a＜4e4﹣2e2時，在（1，e2）上存在實數m，使得F（m）=0，即x∈（1，m）時，F（x）＜0，h′（x）＜0，

∴h（x）在（1，m）上單調遞減，

∴x0∈（1，m）使得h（x0）＜h（1）=0，

綜上所述，當a＞2時，對任意b∈[﹣3，﹣2]，存在x∈（1，e2），使得f（x）＜0成立

【解析】（1）當a=5，b=﹣1時，求得函數解析式及定義域，求導，令f′（x）＜0求得單調遞減區間，f′（x）＞0，求得單調遞增區間；（2）令g（b）=xb+2x2﹣alnx，b∈[﹣3，﹣2]，問題轉化為在g（b）max=g（﹣2）=2x2﹣2x﹣alnx＜0在（1，e2）上有解，亦即只需存在x0∈（1，e2），使得h（x0）＜h（1）=0即可，連續利用導函數，然后分別對當a≤2，a＞2時，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，進而得到結論．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．