一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形
（如圖所示，其中O為圓心，
在半圓上），設
，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）．
（1）求V關于θ的函數表達式；
（2）求
的值，使體積V最大；
（3）問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．
（1）
，（2）
，（3）當木梁的體積V最大時，其表面積S也最大．
解析試題分析：（1）解答實際問題關鍵讀懂題意.本題所求體積為直四棱柱體積，體積為高與底面積的乘積.高為圓木的長，底面積為梯形的面積.利用角表示出梯形上下底及高，就可得到所求關系式. （2）先求出函數的導數
，再根據導數為零時，定義區間導數值的正負討論其單調性，研究其圖像變化規律，確定其極值、最值.本題函數先增后減，在時，取極大值，也是最大值.（3）本題實質是求表面積的最大值，并判斷取最大值時是否成立.首先先建立表面積的函數關系式.表面積由兩部分組成，一是底面積，二是側面積. 底面積為梯形的面積，有兩個. 側面積為梯形周長與圓木的長的乘積.再利用導數求出其最大值及取最大值時角的取值.
試題解析：（1）梯形的面積
=
，
． 2分
體積． 3分
（2）
．
令
，得
，或
（舍）．
∵，∴． 5分
當
時，
，
為增函數；
當
時，
，
為減函數． 7分
∴當時，體積V最大． 8分
（3）木梁的側面積
=
，． 
=
，． 10分
設
，．∵
，
∴當
，即時，
最大． 12分
又由（2）知時，取得最大值，
所以時，木梁的表面積S最大． 13分
綜上，當木梁的體積V最大時，其表面積S也最大． 14分
考點：利用導數求函數最值
優生樂園系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
.
（1）當
時，求函數
在
上的最大值；
（2）令
，若
在區間
上不單調，求
的取值范圍；
（3）當時，函數
的圖像與x軸交于兩點
，且
，又
是
的導函數，若正常數
滿足條件
.證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知某商品的進貨單價為1元/件，商戶甲往年以單價2元/件銷售該商品時，年銷量為1萬件，今年擬下調銷售單價以提高銷量，增加收益．據測算，若今年的實際銷售單價為x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年銷量(單位：萬件)與(2－x)2成正比，比例系數為4．
（1）寫出今年商戶甲的收益y(單位：萬元)與今年的實際銷售單價x間的函數關系式；
（2）商戶甲今年采取降低單價，提高銷量的營銷策略是否能獲得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？說明理由．
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.
時，
恒成立，求m的取值范圍；
時，求證：
.
，
，
，記
.
在
處的切線方程；
的單調區間；
時，若函數
的取值范圍.
與函數
在點
處有公共的切線，設
.
的值
在區間
上的最小值.
．
在
處取得極值，求實數
的值；
上沒有零點，求實數
的取值范圍．
,
． 
在
上的最小值；
是自然對數的底數，
，使不等式
成立，求實數
的取值范圍．
x2－mlnx＋(m－1)x，當m≤0時，試討論函數f(x)的單調性；