Question

（09年長郡中學一模文）（13分）

若實數a≠0，函數，．
(I)令，求函數的單調區間；
(Ⅱ)若在區間(0，＋∞)上至少存在一點x₀，使得成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解析：(I)∵
    ∴       ………………………2分
    令得：x = －2或x = 1
　　當a > 0時，列表如下，

　　∴h(x)的單調遞減區間是(－∞，－2)和(1，＋∞)，單調遞增區間是(－2，1)         4分
　　

當a < 0時，列表如下，

　　∴h(x)的單調遞增區間是(－∞，－2)和(1，＋∞)，單調遞減區間是(－2，1)         6分

(Ⅱ)若在(0，＋∞)上至少存在一點x₀使得成立，
    則在(0，＋∞)上至少存在一解，
　　即在(0，＋∞)上至少存在一解    8分
    由(I)知，當a > 0時，函數在區間(0，1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減，
　　∴要滿足條件應有函數的極大值，即 10分
　　當a < 0時，函數在區間(0，1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增，
　　且極小值為
　　∴此時在(0，＋∞)上至少存在一解；                               12分
　　綜上，實數a的取值范圍為．     13分