Question

（本小題滿分12分）

       已知函數(shù)f （x）＝ln（1＋x）＋a （x＋1）² （a為常數(shù)）．

   （Ⅰ）若函數(shù)f （x）在x＝1處有極值，判斷該極值是極大值還是極小值；

   （Ⅱ）對(duì)滿足條件a≤的任意一個(gè)a，方程f （x）＝0在區(qū)間（0，3）內(nèi)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是多少？

 

Answer 1

【答案】

（１）極大值；（２）２

【解析】（Ⅰ）f＇（x）＝

      

                                                    …………2分

      

      

       —1<x<1時(shí)，f＇（x）>0；x>1時(shí)，f＇（x）<0，[來源:學(xué)§科§網(wǎng)Z§X§X§K]

       ∴f（x）在（—1，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)

       所以f（1）為函數(shù)f（x）的極大值                                          …………4分

   （Ⅱ）

      

                      …………5分

       [來源:學(xué)|科|網(wǎng)Z|X|X|K]

+∞）是為減函數(shù)

因此f（x）在x＝—1+處取得區(qū)間（—1，+∞）上的最大值                    ——6分

由f（—1+）＝0得a＝—                                        …………7分

（1）當(dāng)a<時(shí)，f（—1+

所以方程f（x）＝0在區(qū)間（0，3）內(nèi)無實(shí)數(shù)根                      …………8分

（2）當(dāng)a＝時(shí)，f（—1+

所以方程f（x）＝0在區(qū)間（0，3）內(nèi)有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根

—1+…………9分

（3）當(dāng)a≤時(shí)，≤1，

又f（0）a<0，f（—1+

f（3）＝ln4＋16a≤ln4－2<0，

所以方程f（x）＝0在區(qū)間（0，3）內(nèi)有2個(gè)實(shí)數(shù)根．               …………11分

綜上所述，

當(dāng)a＜時(shí)，方程f（x）＝0在區(qū)間（0，3）內(nèi)無實(shí)數(shù)根；

當(dāng)a時(shí)，方程f（x）＝0在區(qū)間（0，3）內(nèi)有1個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)≤時(shí)，方程f（x）＝0 在區(qū)間（0，3），內(nèi)有2個(gè)實(shí)數(shù)根．

…………12分