Question

已知直線（t為參數）經過橢圓（為參數）的左焦點F.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，求|FA|·|FB|的最大值和最小值.

Answer 1

（Ⅰ）－1; （Ⅱ）當sinα＝0時，|FA|·|FB|取最大值3；當sinα＝±1時，|FA|·|FB|取最小值．

試題分析：（Ⅰ）利用公式將橢圓C的參數方程化為普通方程，求出左焦點F代入直線方程求解m；（Ⅱ）將l的參數方程代入橢圓C的普通方程，借助t的幾何含義求解|FA|·|FB|的最大值和最小值.
試題解析：（Ⅰ）將橢圓C的參數方程化為普通方程，得＋＝1．
a＝2，b＝，c＝1，則點F坐標為(－1，0)．
l是經過點(m，0)的直線，故m＝－1．
（Ⅱ）將l的參數方程代入橢圓C的普通方程，并整理，得
(3cos²α＋4sin²α)t²－6tcosα－9＝0．
設點A，B在直線參數方程中對應的參數分別為t₁，t₂，則
|FA|·|FB|＝|t₁t₂|＝＝．
當sinα＝0時，|FA|·|FB|取最大值3；
當sinα＝±1時，|FA|·|FB|取最小值．