Question

如圖，已知點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，圓與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)為，且直線與圓相切于點(diǎn).

（1）求的值及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，其中M、N是橢圓上的點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值.

Answer 1

（1）；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，由橢圓C過(guò)點(diǎn)（0,1）點(diǎn)，所以得到，由，得，在直角三角形AFB中，利用勾股定理求參數(shù)a，c的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，設(shè)出點(diǎn)M，N，P的坐標(biāo)，代入到中，得到與、的關(guān)系，得到與、的關(guān)系，又由于點(diǎn)M，N在橢圓上，代入橢圓方程中，得到關(guān)系式，都代入到所求的式子中，化簡(jiǎn)得到定值.
試題解析：（1）由題意可知，又.又 .   2分
在中，，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：            6分
（2）設(shè)
∵M(jìn)、N在橢圓上，∴
又直線OM與ON的斜率之積為，∴，
于是
.故為定值.    13分
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì).