Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為梯形，，，且．

（1）在PD上是否存在一點F，使得平面PAB，若存在，找出F的位置，若不存在，請說明理由；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）在BC上存在點F，當時，有平面PAB.（2）

【解析】

（1）根據條件可得、、兩兩垂直，以為原點建立坐標系，設，從而得到，若平面，則與平面的法向量垂直，從而得到關于的方程，得到的值，確定出的位置；

（2）利用空間向量求出平面，平面的法向量，根據向量夾角公式，得到兩平面法向量的夾角，從而得到二面角的大小.

（1）∵平面ABCD，平面ABCD，

∴，

又，

∴，

則可以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

假設在PD上存在一點F，使得平面PAB，

設，

由，得，

由可得，

又，故.

因為，，平面，

所以平面，

故可取平面PAB的一個法向量為，

若平面PAB，則，解得，

故在BC上存在點F，當時，有平面PAB.

（2）由（1）可知

∴

設平面PAD的法向量

則，

令，則，

此時

設平面PBD的法向量

則，

令，則

此時

∴，

∴

∵二面角為銳二面角，

∴二面角的大小為.