Question

在菱形ABCD中，∠A=60°，線段AB的中點是E，現將△ADE沿DE折起到△FDE的位置，使平面FDE和平面EBCD垂直，線段FC的中點是G．
（1）證明：直線BG∥平面FDE；
（2）判斷平面FEC和平面EBCD是否垂直，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）證明：設DE和CB的延長線交與點H，由菱形ABCD中，∠A=60°，線段AB的中點是E，可得 BE∥CD，
且 BE=CD，故BE是△HCD的中位線，B為HC的中點．∵線段FC的中點是G，∴BG是△CFH的中位線，
故BG∥FH，而FH?平面FDE，BG 不在平面FDE 內，故直線BG∥平面FDE．
（2）由菱形ABCD中，∠A=60°，得△ABD為正三角形．∵線段AB的中點是E，∴DE⊥AE，EF⊥DE．
又平面FDE和平面EBCD垂直，∴折后EF⊥平面EBCD，平面FEC和平面EBCD垂直．
分析：（1）設DE和CB的延長線交與點H，可得 BE是△HCD的中位線，B為HC的中點，故可得BG是△CFH的中位線，BG∥FH，故直線BG∥平面FDE．
（2）利用△ABD為正三角形，可得DE⊥AE，EF⊥DE，再利用面面垂直的性質得折后EF⊥平面EBCD，從而得到平面FEC和平面EBCD垂直．
點評：本題考查證明線面平行、面面垂直的方法，判斷BG是△CFH的中位線，是解題的難點和關鍵．