Question

在菱形ABCD中，∠ABC=30°，BC=4，若在菱形ABCD內任取一點，則該點到四個頂點的距離均不小于1的概率是（　　）

• A．

  π

  6

• B．1-

  π

  6

• C．

  π

  8

• D．1-

  π

  8

Answer 1

分析：以菱形ABCD的各個頂點為圓心、半徑為1作圓如圖所示，可得當該點位于圖中陰影部分區域時，它到四個頂點的距離均不小于1．因此算出菱形ABCD的面積和陰影部分區域的面積，利用幾何概型計算公式加以計算，即可得到所求的概率．

解答：解：分別以菱形ABCD的各個頂點為圓心，作半徑為1的圓，如圖所示．
在菱形ABCD內任取一點P，則點P位于四個圓的外部或在圓上時，
滿足點P到四個頂點的距離均不小于1，即圖中的陰影部分區域
∵S_菱形ABCD=AB•BCsin30°=4×4×

1

2

=8，
∴S_陰影=S_菱形ABCD-S_空白=8-π×1²=8-π．
因此，該點到四個頂點的距離均不小于1的概率P=

S陰影

S菱形ABCD

=

8-π

8

=1-

π

8

．
故選：D

點評：本題給出菱形ABCD，求在菱形內部取點，使該點到各個頂點的距離均不小于1的概率．著重考查了菱形的面積公式、圓的面積公式和幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．