Question

(本小題滿分12分）

某公園的大型中心花園的邊界為橢圓，花園內種植各種花草. 為增強觀賞性，在橢圓內以其

中心為直角頂點且關于中心對稱的兩個直角三角形內種植名貴花草（如圖），并以該直角三角

形斜邊開辟觀賞小道（其中的一條為線段）. 某園林公司承接了該中心花園的施工建設，

在施工時發現，橢圓邊界上任意一點到橢圓兩焦點的距離和為4（單位：百米），且橢圓上點

到焦點的最近距離為1（單位：百米）.

（Ⅰ）以橢圓中心為原點建立如圖的坐標系，求該橢圓的標準方程；

（Ⅱ）請計算觀賞小道的長度（不計小道寬度）的最大值.

Answer 1

(本小題滿分12分）

解：(Ⅰ) 設橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，由已知，2a＝4，a－c＝1，a＝2，c＝1，

∴b＝，故橢圓的標準方程＋＝1.……3分

(Ⅱ)①若該直角三角形斜邊斜率存在且不為0，

設直角三角形斜邊所在直線方程為y＝kx＋m，斜邊與橢圓的交點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

聯立方程組         y=kx+m

                    ＋＝1

得3x²＋4(kx＋m)²＝12，即(3＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－12＝0，

則Δ＝64k²m²－4(3＋4k²)(4m²－12)＝48(4k²－m²＋3)>0，即4k²－m²＋3>0.

x₁+ x₂= -  8km

3＋4k²

x₁ x₂=    ，    …………6分

y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝k²－＋m²

＝，

要使△AOB為直角三角形，需使x₁x₂＋y₁y₂＝0，

即＋＝0，所以7m²－12k²－12＝0， …………8分

即m²＝，故4k²－m²＋3＝4k²＋3－＝>0，

所以|AB|＝＝＝

＝

＝＝

＝≤.

當僅當16k²＝，k＝±時，等號成立. …………10分

②若該直角三角形斜率不存在或斜率為0，則斜邊長為.

綜上可知，觀賞小道長度的最大值為2(百米). …………12分