Question

定義在R上的函數f（x），對任意的實數x，y，恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且當x＞0時，f（x）＜0．又f(1)=-

2

3

．
（1）求證：f（x）為奇函數；
（2）求證：f（x）在R上是減函數；
（2）求函數f（x）在[-3，3]上的值域．

Answer 1

分析：（1）證明：令x=y=0，則由條件求得恒有f（x）+f（y）=f（x+y），可得f（0）=0．再令y=-x，可得f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數．
（2）令x+y=x₁，y=x₂且x₁＞x₂，則x=x₁-x₂＞0，由條件可得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），從而得到f（x）在R上是減函數．
（3）根據f(1)=-

2

3

、f(2)=-

4

3

，由f（x）+f（y）=f（x+y），求得f（3）和f（-3）的值，再根據函數f（x）在[-3，3]上是減函數，可得函數的值域．

解答：解：（1）證明：令x=y=0，則由定義在R上的函數f（x），對任意的實數x，y，
恒有f（x）+f（y）=f（x+y），可得f（0）=0．
再令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數．
（2）令x+y=x₁，y=x₂且x₁＞x₂，x=x₁-x₂＞0，
由于當x＞0時，f（x）＜0，
故有f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），f（x）在R上是減函數．
（3）又f(1)=-

2

3

．f(2)=-

4

3

，可得f（3）=3f（1）=-2，同理可得f（-3）=2，
再根據函數f（x）在[-3，3]上是減函數可得函數的值域為[-2，2]．

點評：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的判斷和證明，利用函數的單調性求函數的值域，屬于中檔題．