Question

已知函數f(x)＝ax³＋(a－2)x＋c的圖象如圖所示．

(1)求函數y＝f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝－2ln x在其定義域內為增函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

（1）f(x)＝x³－x＋3
（2）[1，＋∞)

(1)∵f′(x)＝ax²＋a－2，
由圖可知函數f(x)的圖象過點(0,3)，且f′(1)＝0.
得即
∴f(x)＝x³－x＋3.
(2)∵g(x)＝－2ln x＝kx－－2ln x，
∴g′(x)＝k＋－＝.
∵函數y＝g(x)的定義域為(0，＋∞)，
∴若函數y＝g(x)在其定義域內為單調增函數，則函數g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx²＋k－2x≥0在區間(0，＋∞)上恒成立．
即k≥在區間(0，＋∞)上恒成立．
令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，
則h(x)＝＝≤1(當且僅當x＝1時取等號)．
∴k≥1.
∴實數k的取值范圍是[1，＋∞)．